泛函分析及其在自动控制中的应用
泛函分析及其在自动控制中的应用，韩崇昭，1991控制理论所硏究的闩越,可以概括为系统分析、系统踪合建模和优化。系统分包括系统的稳定性分析能控能观性分析、鲁棒性分析等,主要是分用以描述系统行为的算子的特生。传统的分析方法是实用的但只限于某些特定的系纯类型.例如传统的枫域分忻法只阳于讨论单输入单输出约线性定常橤统,而泛函分析所提供的分析方法,有可能村包括多输入多输出线性时变系统、分和参觐线性系统,以及某忠类型的柞线性系统进行统…的处理,从而获得更加一般的论。系统的综合包插挖湖器和补偿器的设计等,使系流得以镇定或获得某种性能,这是分析的逆河题。传统的综合屴沄礻仪费时费事丶而且解决问题的范園比较狭窄:现代的综合方法倾向干构造能用计算机灾现的某些算法迭代算法或递推算法的收敏性分析,以及闭环控制的稳定性分衔等,只有借助泛图分析所提供的工其,才有可能使问题得以解决系统建撓和系统的最优控制,一般是在某些约束条件下,对某个泛函拈标进行优化的问题,这更是泛函分析研究惹围闪的问题绕上所泛函分析已渗逶到控制理论和系统科学的各个分支。“饿夯千里日,更上一层楼”,控制斑论研究者只冇掌握泛函分析这…工具,才有可能…览当令研究潮流中“群峰竞秀,万水争流"“的局面第二章代数基础鉴于工科人学亩动控制类专业研究生#不具备系统的拙象代数的知识,而泛函分析这门课程又经带涉及抽象代数的某些基本慨念,所以首先在本章对必要的代数基础知识进行简要介绍,作为学习泛函分枥的预备知识。§2.]集合与映射2.1.1集合集合是数学上最基本門概念,难以绐出确切的定义:一般说:所谓集合就是指具有其种属性的事物全体。构成集合的每个事物称为该集合的元蓊。果合也简称集,其元素也简称元集合可用列其历有元素或江明其暑性来表示如A=i1,nz,…,n},A={a:a具有属性P}如果个集合由有限多个元构成,称之为有限集;如果由无限多个元构成,称之为元限集不含汪何元素的集合称为空集记为这,只含一个元的集合称为单点集。用r∈A表示“?是4中的元”或a属于A”;用a表示a不是A中的元"哎“a不属于有两个集合A和B:若A中的所有元到为B中的元,则称为A是B的子集或A蕴含于B哎包含A,记为A≌或BA任集A必是共自身的了集,而空集又是仕意集A的子集若集A是集R的子集:而B中至少有一个元不屑于4,则称A是程的真子集,或B真包含A,记为心二BBA。若集A是集B的了集,且B也是A的子策,闻称集A与集B相等,记为A=B2这个定义也经出用作集合相等的证明方法即任取∈A,得x∈B则推知4≌B;其次任取xB证得∈小则描知B≌A;从而证明A=B。在以后的证明中,我打经常采用某些撰用符号:“"表示“所有的",“彐"表示“存在”,“→“表示“由左面的结论推出岩面的结论”“台”表示左右两面相互推出”以柴合为元素的集合秋为集类。如字={A,B,C}其中的元A,B,C均是集合,是集类。A、B两个集合的所有元素共同构成的集合称为A和B的并集,记为AUB={2:x∈A或x∈开2。1,2桌合A1,A:;…,A的并業定义为U4=A∪AU…∪4一{x:xEA,或x∈A,“x∈A}(2.1.3)A、B两个集合的公共元素构成的集合称为A和B的交集,记为A∩B={x:x∈A且芏.B〔2.I.4集合A1,A2,A的交集定义为门A=A∩A∩“∩A={x:x∈A且x∈12“且xEA}(2.!5如果集合A与集合升没有公共元家,即A∩B=C,则称A与R不相交。属于集A而不属于集B的所有元构成的集合称为A与B的差集记为AB={xgxA旦x2.⊥,5巢合A和F的对称差记为A△B-(APU(4)2.7设U是一↑特定的集合,AS;称EA为A关于U的补集.记为A此时有AUA=UA∩A=2.1蘸2..9对于集类也可以定义并、交运算。设是一个集类其元的并和交分别为U{BB∈}={z:B∈郾,使z∈B2.1.10∩{B:B∈}{x;B∈密,使r∈乃2.1.11)例211设R表示实数集,R=RXR表示实数序对(x,y)的集合,集合A={(x,g)mx;∈R固定}表示欧氏平面R2上y=m直线上的总集;所有这些集合(直线〕构成一个集类x={A:mER在此情况下,集类m的交集为∩ FRA={(0,0)},即R的坐标原点;其并集为∪v∈RA=R2{0,y):|l|>0}即除去坐标纵轴但保留坐标原点整个R2平面。前面绐出的集合运算具有如下性质〔1)幂等律:AA=A,A∩A=4;〔)交换律:AB=BJA,A∩B-B∩A;I)结合律:A∪(BU)=(4∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C;Ⅳ)分配律:4U(B∩C)=(AUB∩(AUc),A(BUC)-(Anu(A门〔V)恒等律:A∪C=A,A∩U=手AUC=[, A=另外还有一些恒等关系式Ⅵ) de morgan律:A(B)-(AB)∩AC),A(BNC)=(AB)U:A〔〕对偶律:(UAA,(∩A=UⅧ)互补律:AAU,A∩A=8下面只证明(W)和(W)其余留给读者验证W)的证明:∈A(B)∈A,(BC)∈AB且x∈C∈AB且tAr∈AB)n(4C)同理可证第二式。()的证明;*∈(∪A)=∈U,艺点UA+2A且2年A1“且卖Az∈出且x∈A」且x∈术台∈∩4:同理可证第二式渠合A和B的笛卡尔积就是由序对构成的集∈Ab∈2.1,12儿素n和b称为序对(a,b)的分量。如果两个厅对的对应分垤相等则称其相等例如,(x,y)z(n-a,且y一b般情况下,集合的笛卡尔积不叫交换次序,即AX≠xA更一般地,A1A2…**A是一组集合其笛卡尔积定义为A,=1×Azx{「rTI:AE1,2}〔2.I.132.1.2关系由集合A到集合B的一个关系配,就匙的卡尔积A×H的一个集若R=AXB.序对(a)∈R则称n与!有关系P,记为ee,关系RAX称为二元关系,周为此时其中的元由序对钩成更灬般地,若K∈]1,则称其为多元关英。例2.1.2设A一{a,b,c}B={u,b,,d,吧其笛卡尔积为AB=(,,(,b),().(,t).(bq),bb),,(冫(,),出,(qb)(qc),(,d)}如果R表示“相等关系”,则R=Yb),(c,E)}二A×F关系R4XB的定义城是A的子集,即1oia∈A:b∈,使得2..11〕其值址是郾的子集,即ange=,∈B:n∈A使得ah15倒21.3设R={(x,y):,∈R,g-2}表示一个关系,显然它是RXR的一个子粜,即面R上一条抛物线的点集。其定义域domR=R,其值域 rangeR=1={y:y:0),即l半实轴设A是灬个集台,三A×A4是某种关系下给出几种特殊二元关系的定义I)自返关系:若aA→(a,a∈R;(I)对称关系:若(,b)∈B→(b,a)EB;Ⅲ)传递关系:a,b),b)∈R=n,)∈R;Ⅳ)反对称关系:若(,b),h2n)∈→m=b;甚于以上基本的二元关系还可以定义〔V)偏序关系;若是返、传递和反对称的关系:此时称A为出R规定的编序集合;〔)全序关系:若是偏关系,H任意a,b∈A,要么(+b)∈B,要么(b,a);W)等价关系:若F是肖返、传递和对称的关系。例2.1.4设R-(,9):x,∈R,≤匚R表示平面R上包括x-9直线在内的左上半平面,它是一个二元关系:国对()!x∈R,(x,x)∈,所以R是自返的;(2)任意(,y),(,=)∈R即有“到队而有x,即:x,∈R,所以是传的(3){意(x,y),(y,)∈R,具有y,≤x,从而z=y,新以R是反称的;综合起来即证刚R是个懶序关系(即关系“≤’,或者总按偏序关系“≤”規定的R是一个偏序集合。其实,R还是一个全序关系,因为除!R编序关系外,对仁意r∈R.要么x≤,费么ysx即要么(x,y)∈界,要么(y,x)∈P例2.15设A={a,b;,d,g,R={(),(b,)仂,b),(c,q),(+b),e,c)(c,),(d,n),,n),(,4},(,b),(e,e)}4A,它是A上的一个二元关系。因为(1)!x∈A(r,x)∈R,即E是白讴的;(2)意(x,y)(y,z)∈萨即有(x,∈F即R是传递的;〔3若(x,y)(g,x)∈R,即有xy,即是反对称的;所以k是一个偏序关系。但是,为e,∈A,(e)R且(e,c)B,所以不是灬个全序关系若R实A×A是A上的一个偏序关系,则I)A的任一子集B按关系R仍是一个偏详集合,即B(BXB》∩是B上的偏序关系若B按关系R还是一个全序集合,则称其为A的个全序子集。[)设b∈4,若对x∈A均有r助,称b为A的末位元系()设a∈A若对x∈A均有Rx,称a为A的初位元Ⅳ)若b∈A对任意t∈A且l则称b为A的一个最大元素。若m∈A对任意x∈A且→=a则称a为A的一个最小元亲例2.L.6设A={7,4,23,2,5)为一有限整数粜,定义A上的一个二元关系R_{∈A,x≤y2),(4,4),(415),〔47),(4,12),(2,12)(3,3),(3,4),(35),(3;73,12),(2,2),(2,3)、(2,2(2,5),(2,7,(2,12),(5,5),(5,7〕,(苏,2)}显然,孩关系R(即“≤”),A是…个全序集合同时是A的韧位元,也是最小元:12是A的末位兀,也是最大元例2.L.725的关系星可以用图2.1.表示,共中a,即存在有向连线由x到yA的仟一子集加D一{e1b,a}按关系B仍是个偏序集合,而且此时B还是A的一个全序子集在A中按关系R,是末位元也是量大元和c均为A献最小元但A无初位元,月为e和c不存在关系R讲而,假定R是集合A上时一个编序关系,对于B4,则有M)r∈A称为由规定的B的一个上界,当且仅当图2.1.1关系R对∈B有xR。如果a是由R规定的P的一个上界,而对于由R规定的B的任意其它上界p均有aR,则称a为B的最小上界,或上确界.记为m=Lp3()a∈A称为由R规定的的一个下界,当且仅当对yr∈B有aR。如果a是由R规定的B的一个下界,而对于由R规定的B的任意其它下界A,均有山B则称t为B的最大下界或下确界,记为=infB。例2.1.8设A={z∈R:01二R为一闭区何,而B一{x∈R:.2
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PID控制超详细教程(含软硬件上位机，很好）SUNPLUS调节控制做电机速度控制月录页模拟控制模拟控制原理数字控制位置式算法增量式算法控制器参数整定凑试法临界比例法经验法采样周期的选择参数调整规则的探索自校正控制器软件说明软件说明档案构成界面子程序说明程序范例程序程序流程与说明中断子流稈与说明使用资源硬件使用资源说明实验测试响应曲线参考文献SUNPLUS调节控制做电机速度控制修订记录日期版本编写及修订者编写及修订说明初版错误校正SUNPLUS调节控制做电机速度控制模拟控制将偏差的比例()、积分()和微分()通过线性组合构成控制量用这一控制量对被控对象进行控制,这样的控制器称控制器、模拟控制原理在模拟控制系统中,控制器最常用的控制规律是控制。为了说明控制器的工作原理,先看个例子。如图—所示是一个小功率直流电机的调速原理图。给定速度与实际转速进行比较,其差值,经过控制器调整后输出电压控制信号经过功率放大后,驱动直流电动机改变其转速。+控器直流电机图小功率直流电机调速系统常规的模拟控制系统原理框图如图—所示。该系统由模拟控制器和被控对象组成。图中是给定值是系统的实际输岀值,给定值与实际输出值构成控制偏差式-)作为控制的输入,作为控制器的输出和被控对象的输入。所以模拟控制器的控制规律为式其中:控制器的比例系数搾制器的积分时间,也称积分系数控訇器的微分时间,也称微分系数比例积分被控对象微分图—模拟控制系统原理图比例部分SUNPLUS调节控制做电机速度控制比例部分的数学式表示是:在模拟控制器中,比例环节的作用是对偏差瞬闩作岀反应。偏差一旦产生控制器立即产生控制作用,使控制量向减少偏差的方冋变化。控制作用的强弱取决于比例系数,比例系数越大,控制作用越强,则过渡过程越快,控制过程的静态偏差也就越小;但是越大,也越容易产生振荡,破坏系统的稳定性。故而,比例系数选择必须恰当,才能过渡时间少,静差小而又稳定的效果。、积分部分积分部分的数学式表小是从积分部分的数学表达式可以知道,只要存在偏差,则它的控制作用就不断的增加;只有在偏差时,它的积分才能是一个常数,控制作用才是一个不会增加的常数。可见,积分部分可以消除系统的偏差积分环节的调节作用虽然会消除静态误差,但也会降低系统的响应速度,增加系统的超调量。积分常数越大,积分的积累作用越弱,这时系统在过渡时不会产生振荡;但是增大积分常数会诚慢静态误差的消除过程,消除偏差所需的时间也较长,但可以减少超调量,提髙系统的稳定性.当较小时,则积分的作用较强,这时系统过渡时间中有可能产生振荡,不过消陰偏差所需的时间较短。所以必须根据实际控制的只体要求来确定。、微分部分微分部分的数学式表示是实际的控制系统除了希望消除静态误差外,还要求加快调节过程。在偏差岀现的瞬间,或在偏差变化的瞬间,不但要对偏差量做岀立即响应(比例环节的作用),而∏要根据偏差的变化趋势预先给岀适当的纠正。为了实现这一作用,可在控制器的基础上加入微分环节,形成控制器。微分环节的作用使阻止偏差的变化。它是根据偏差的变化趋势(变化速度)进行控制。偏差变化的越快,微分控制器的输出就越大,并能在偏差值变大之前进行修正。微分作用的引入,将有助于减小超调量,克服振荡,使系统趋于穩定,特別对髙阶系统非常有利,它加快了系统的跟踪速度但微分的作用对输入信号的噪声很敏感,对那些噪声较人的系统一般不用微分,或在微分起作用之前先对输入信号进行滤波。微分部分的作用由微分时间常薮决定。越大时,则它抑制偏差变化的作用越强棫小时,则它反抗偏差变化的作用越弱。微分部分显然对系统稳定有很大的作用。适当地选择微分常数,可以使微分作用达到最优由于计算机的出现,讣算机进入了控制领或。人们将模拟控制规律引入到计算机中来。对(式—)的控制规律进行适当的变換,就可以用软件实现控制,即数字搾制。SUNPLUS调节控制做电机速度控制数字控制数字式控制算法可以分为位置式和增量式控制算法。位置式算法由于计算杋控制是一种采样控制,它只能根据样时矧的偏差计算控制量,而不能像模拟控制那样连续输岀控制量量,进行连续控制。由于这·特点(式)中的积分项和黴分项不能直接使用,必须进行离散化处理。离散化处理的方法为:以作为采样周期,作为采样序号,则离散采样时间对应着连续时间,用矩形法数值积分近似代替积分,用一阶后向差分近似代膂微分,可作如下近似变换:≈1T〔k=0,1,2.e()h(门-Tag(),()-以(k-1)7]8-1di(式上式中,为了衣示的方便,将类似于简化成等。将(式-)代入(式一),就可以得到离散的表达式为(式一)或+(式其米样序号,一,,第次釆样时刻的计算机输出值:第次采样时刻输入的偏差值第—次采样时刻输入的偏差值:积分系数,微分系数,如果采样周期足够小,则〔式—)或(式—)的近似计算可以获得足够精确的结果,离散控制过程与连续过程十分接近。(式—)或(式一)表示的控制算法式直接按(式一)所给出的控制规律定义进行计算的,所以它给出了全部控制量的大小,因此被称为全量式或位置式控制算法这种算法的缺点是:由于全量输出,所以每次输出均与过去状态有关,计算时要对进行累加,SUNPLUS调节控制做电机速度控制工作量人;并且,因为计算杋输岀的对应的是执行机构的实际位置,如果计算机岀现故障,输岀的将大幅度变化,会引起执行机构的大幅度变化,有可能因此造成严重的生产事枚,这在实生产际中是不允许的。増量式探制算法可以避免着重现象发生。增量式算法所谓增量式是指数宇控制器的输岀只是控制量的增量Δ。当执行机构需要的控制量是增量,而不是位置量的绝对数佶时,可以使用增量式控制算法进行控制。增量式控制算法可以通过(式一)推导出。由(式一)可以得到控制器的第个采样时刻的输出值为+∑+式将(式一)与(式一)相减并整理,就可以得到增量式控制算法公式为△(式其中由(式—)可以看出,如果计算机控制系统采用恒定的采样周期日确定只要使用前后三次测量的偏差值,就可以由(式—)求出控制量。增量式控制算法与位置式算法(式一)相比,计算量小的多,因此在实际中得到广泛的应用而位置式搾制算法也可以通过增量式控制算法推岀递推计算公式:△式(式—)就是目前在计算机控制中广泛应用的数字递推控制算法控制器参数整定搾制器参数整定:指决定调节器的比例系数、积分时间、微分时间和采样周期的SUNPLUS调节控制做电机速度控制具体数值。整定的实质是通过改变调节器的参数,使其特性和过程特性相匹配,以改善系统的动态和静态指标,取得最佳的控制效果。整定调节器参数的方法很多,归纳起来可分为两大类,即理论计算整定法和工程整定法。理论计算整定法有对数频率特性法和根轨迹法等;工程整定法冇凑试法、临界比例法、经验法、衰减曲线法和响应曲线法等。工程整定法特点不需要事先知道过程的数学模型,直接在过程控制系统中进行现场整定方法简单、计算简便、易于掌握凑试法按照先比例()、再积分()、最后微分()的顺序。置调节器积分时间∞,微分时间在比例系数按经验设置的初值条件下,将系统投入运行,由小到大整定比例系数求得满意的衰减度过渡过程曲线引入积分作用(此时应将上述比例系数设置为)。将由大到小进行整定若需引入微分作用时,则将按经验值或按(~)设置,并由小到人加入临界比例法在闭坯控制系统甲,将调节器置纯比例作用卜,从小到大逐渐改变调节器的比例系教,得到竿幅振荡的过渡过程。此时的比例系数称为临界比例系数相邻两个波峰间的时间间隔,称为临界振荡周期二界比例度法步骤:将调节器的积分时间置于最大(∞),微分时间置零),比例系数适当,平衡操作一段时问,把系统投入自动运行、将比例系数逐渐增大,得到等幅振荡过程,记卜临界比例系数和临界振蕩周期值根据和值,采用经验公式,计算出调节器各个参数,即、和的值。按先再最后的操作程序将调节器整定参数调到计算值上。若还不够满意,可再作进步调整。临界比例度法整定注意事项:有的过程控制系统,临界比例系数很大,使系统接近两式控制,调节阀不是全关就是全开,对工业生产不利有的过程控制系统,当调节器比例系数调到最大刻度值时,系统仍不产生等幅振荡,对此,就把最大刻度的比例度作为临界比例度进行调节器参数整定经验法用凑试汯确定参数需要经过多次反复的实验,为了减少凑试次数,提高工作效率,可以借鉴他人的经验,并根据‘定的要求,事先作少量的实验,以得到若「基准参数,然后按照经验公式用这些基准参数导出控制参数,这就是经验法。临界比例法就是一种经验法。这种方法首先将控制器选为纯比例控制器,并形成闭环,改变比例系数,使系统对阶跃输入的响应达到临界状态,这时记下比例系数、临界振荡周期为,根SUNPLUS调节控制做电机速度控制据一提供的经验公式,就可以由这两个基准参数得到不同类型控制器的参数,如表一所示。衣—临界比例法确定的模拟控制器参数控制器类型这种临界比例汯使针对模拟ˆ控制器,对于数字控制器,只要釆样周期取的较小,原则上也同样使用。在电动机的控制中,可以先采用临界比例法,然后在采用临界比例法求得结果的基础上,用凑试法进一步完善表一的控制参数,实际上是按衰减度为时得到的。通常认为的衰减度能兼顾到稳定性和快速性。如果要求更大的衰减,则必须用凑试法对参数作进一步的调整。采样周期的选择香农()采样定律:为不失真地复现信号的变化,采样频率至少应大于或等于连续信号最高频率分量的二倍。根据采样定律可以确定采样周期的上限值。实际采样周期的选择还要受到多方面因素的影响,不同的系统采样周期应根据具体情况米选择。采样周期的选择,通常按照过程特性与丨扰大小适当来选取采样周期:郾对于响应快、(如流量、压力)波动大、易受干扰的过程,应选取较短的采样周期:反之,当过程响应慢(如温度、成价)、滞后人时,可选取较长的采样周期采样周期的选取应与参数的整定进行综合考虑,采样周期应远小于过程的扰动信号的周期,在执行器的响应速度比较慢时,过小的采样周期将失去意义,因此可适当选大ˉ点;在计算机运算速度允许的条件下,采样周期短,则控制品质好;当过程的纯滞后时间较长时,一般选取采样周期为纯滞后时间的参数调整规则的探索人们通过对控制理论的认识和长期人工操作经验的总结,可知参数应依据以卜儿点来适应系统的动态过程。在偏差比较大时,为使尽快消除偏差,提高响应速度,冋时为了避免系统响应岀现超调,取大值,取零;在偏差比较小时,为继续减小偏差,并防止超调过大、产生振荡、稳定性变坏,值要减小,取小值;在偏差很小时,为消除静差,克服超调,使系统尽快稳定,值继续减小,值不变或稍取大。当偏差与偏差变化率同号时,被控量是朝偏离既定值方向变化。因此,当被控量接近定值时,反号的比列作用阻碍积分作用,避免积分超调及随之而来的振荡,有利于控制;而当被控量远未接近各定值并向定值变化时,则由于这两项反向,将会减慢控制过程。在偏差比较大时,偏差变化率与偏差异号时,值取零或负值,以加快控制的动态过程。偏差变化率的大小表明偏差变化的速率,越大,取值越小,取值越大,反之亦然。同时,要结合偏差大小来考虑
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