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震动分析 频谱分析 瀑布图 时域图 频谱图

VINS 的功能模块可包括五个部分:数据预处理、初始化、后端非线性优化、闭环检测及闭环优化。代码中主要开启了四个线程,分别是:前端图像跟踪、后端非线性优化(其中初始化和 IMU 预积分在这个线程中)、闭环检测、闭环优化。、总体框架Measurement PreprocessingInitializationCamera(30hz)Feature Detectionnd rackerVisual-lnertialInitializedis- onlySfMAlignmentIMU (100hMU Pre-integrationLocal Visual-Inertial: OldestSliting WindowNewestNonli+、 Keyframe?OptimizationBundle Adjustment II Loop detectionwith RelocalizationStates from Loop ClosureFealure retrievel oop Deleted二二1---11------22===Global Pose Graph4-DoF Pose Graph OptimizationKeyframe DatabaseOptimization图1VINS框架ⅵINS的玏能模块可包括五个部分:数据预处理、初始化、后端非线性优化、闭环检测及闭环优化。代码中主要开启了四个线稈,分别是:前端图像跟踪、后端非线性伉化(其中初始化和IMU预积分在这个线程中)、闭环检测、闭环优化各个功能模块的作用上要有:1.I图像和MU预处理●图像:提取图像 Harris角点,利用金字塔光流跟踪相邻帧,通过 RANSAC去除异常点,最后将跟踪到的特征点push到图像队列中,并通知后端进行处理●IU:将IMU数据进行积分,得到当前时刻的位置、速度和旋转(PVQ),同时计算在后端优化中将用到的相邻帧的预积分增量,及预积分误差的 Jacobian矩阵和协方差项。1.2初始化首先,利用SFM进行纯视觉佔计滑窗內所有帧的位姿及3D点逆深度,最后与IMU预积分进行对齐求解初始化参数1.3后端滑窗优化将视觉约束、IMU约束和闭环约束放在·个大的目标函数中进行非线性优化,求解滑窗内所有帧的PVQ、bias等。L M States in the sliding windowIMU:k States from loop clos1Camera:冷 MU measurements>visual measurements★ Catur图2滑窗优化示意图14闭环检测和优化利用D)BoW进行闭环检测,当检测成功后进行重定位,最后对整个相机轨迹进行闭环优化。U预积分VisionIMUVision图3MU预积分示意图21当前时刻pVQ的连续形式将第k唢和第kl帧之间的所有IMU进行积分,可得第kHI帧的位置、速度和旋转(PVQ),作为视觉估计的初始值,这里的旋转采用的四元数。v△t+k+1∈[k,k+1]rW(at-ba ) -owletbk JtE[k, k+1]n(,-bdt∈[k,k+1]其中,a2和O为ⅠMU测量的加速度和角速度,是在Body自身坐标系, world坐标系是IMU所在的惯导系,上式的旋转公式推导可参考附录10.1。22当前时刻PVQ的中值法离散形式公式(1)给出的是连续吋刻的相机当前PVR的达代公式,为了跟代码致,下面给出基于中值法的公式,这与 Estimator:; processIMg(O函数中的Ps]、Rs]和Vs是一致的,IMU积分出来的第j时刻的物理量可以作为第j帧图像的初始值。tr t+a26t(2)ka,St其中q(a1-ba)-g"+q:+1(a+1-ba)(a;+o;+1)2.3两帧之间PVQ增量的连续形式通过观察公式(1)可知,IvU的预积分需要依赖与第k帧的ν和R,当我们在后端进行非线性优化时,需要迭代更新第κ唢的ν和R,这将导致我们需要根据每次迭代后值重新进行积分,这将非常耗吋。因此,我们考虑将优化变量从第k帧到第κ+1帧的IU预积分项中分离开来,通过对公式(1)左右两侧各乘Rb,可化简为:R(+p2k-=2△)+ak+1b其中DtElk, k+1t∈[k,k+1R k(at-bar)ldt)Wendtt∈[kk+1这样我们就得到了连续时刻的MU预积分公式,可以发现,上式得到的MU预积分的值只与不同时刻的a2和o相关。这里我们需要重新讨论下公式(5)预积分公式,以ab,为例,我们发现它是与MU的bias相关的,而bias也是我们需要优化的变量,这将导致的问题是,当每次迭代时,我们得到一个新的bias,又得根据公式(巧5)重新对第k帧和第k+1帧之间的IMU预积分,非常耗时。这里假设预积分的变化量与bias是线性关系,可以写成:ab,+/6n6ba+/16b+8 8ba +p(6)k+1sb24两帧之间PVQ增量的欧拉法离散形式面给出离散时刻的IMU预积分公式,首先按照论文中采用的欧拉法,给出第i个MU时刻与第i1个IMU时刻的变量关系为b+1k+的6t+元R(P)(1+R(P")(a2-bbn)δt25两帧之间PⅤQ增量的中值法离散形式卜面给出代码中采用的基」中值法的IMU预积分公式,这与 Estimator: processIMUO函数中的 Integration Base: push backo上是一致的。注意这里跟公式(2)是不一样的,这里积分出来的是前后两顿之间的IU增量信息,而公式(2)给出的当前帧时刻的物理量信息+1+B k St +=a, &tbb+1Bi + au1其中a,=slqilai-bai)+qiDi t aitl2.6连续形式下PVQ增量的误差、协方差及 JacobianIMU在每个吋刻积分出来的值是有误差的,下面我们对误差进行分析。首先我们直接给出在t时刻误差项的导数为:sa00016a000000-82(066hkR;0006|=00-(a-bh)0-1192k|+|000|mLL000016ba00101n000018b000F+ozk+ Gt其中:F25×15,G215×2,62x1,n12×,上式推导可参考附录102。下面我们讨论它的作用,将其可以简写为:6之k=F62z+Gtnt根据导数定义可知:62b=1m24-6262+8=62+628t=(+F6t)6z+(Gt6t)nt(11)这里我们对公式(1)的IMU误差运动方程再说明,将上式和EKF对比可知,上式恰好给出了如EKF一般对非线性系统线性化的过程,这里的意义是表示下一个时刻的IMU测量误差与上一个时刻的成线性关系,这样我们根据当前时刻的值,可以预测出下一个时刻的均值和协方差,而公式(1)给出的是均值预测,协方差预测公式如下Pb+6=(1+Ft)P(+Fl6t)7+(G,t)Q(G18t)ot(12)上式给出了协方差的选代公式,初始值Pk=0。其中,Q为表示噪声项的对角协方差矩阵000003000另外根据(11)式可获得诀差项的 Jacobian的迭代公式:(I+F26t)(14)其中 Jacobian的初始值为bk=12.7离散形式的PVQ增量误差分析我们首先直接给出PVQ增量误差在离散形式下的矩阵形式,为了与代码一致,我们修改下变量顺序,这和代码中 midPointIntegration(函数是一致的。(但不知为何计算的V中与前四个噪声项相关的差个负号?)1t fo660f106t‖loeBk+1=0f211f20016bδb0[6b102001rnot000kRkotk+1(15006t0n0000δt其中,推导可参考附录10.3:stE(ak-ba)02-4B+1(kk+121k+1b.)6t|6t2(Rr+ rk+18t2Stn=71=Rk+1(a+1-b)6tWr+ wf1=Ik+11+Gb。)δt-Rn+1(ak+121=-2配+1Stl st21(RK+Ruts)4rula1RrotstStR+1(a1R,+114/+11t28离散形式的PVQ增量误差的 Jacobian和协方差将公式(15)简写为:k+1F15×158215×1+V15×13Q则 Jacobian的迭代公式为k+15×15=F/k(16)其中, Jacobian的初始值为/k=l。这里计算出来的k+1只是为了给后面提供对bias的acoblar。协方差的迭代公式为P+15×15=FPFr+vQv(17)其中,初始值P=0。Q为表示噪声项的对角协方差矩阵:00000000aa000Q18×180a00(18)000000三、后端非线性优化31状态向量状态向量共包括滑动窗口内的n+l1个所有相机的状态(包括位置、朝向、速度、加速度计bias和陀螺仪bias)、 Camera到IMU的外参、m+1个3D点的逆深度X=[xr=pw,vb bpc,q3.2目标函数吗+(喻,2)+2(19)其中三个残差项即误差项分别为边缘化的先验信息、IMU测量残差、视觉的重投影残差。三种残差都是用马氏距离表示。根据《十四讲》中高斯牛顿法,若要计算目标函数的最小值,可以理解为,当优化变量有一个增量后,目标函数值最小,以IU残差为例,可写成如下所示:nin lre2bk, X+8Xrk x)+HSⅩDk+1oXk+1k+1其中HB,为B关于 XIK Jacobian,将上式展开并令关于6X的导数为0,可得增量δx的计算公式:H k 8X=k+1TB那么,公式(28)可写成+∑+∑Tk∑1rc上式中,B为MU预积分噪声项的协方差,P为vual观测的噪声协方差。当MU的噪声协方差P越大时,其信息矩阵Pk,将越小,意味着该MU观测越不可信,换句话说,因MU噪声较大,越不可信IMU预积分数据,而更加相信 visual观测。注意,这里的IMU和vsua协方差的绝对值没有意义,因为考虑得是两者的相对性可将上式继续简化为:(Ap+AB +Acox=bp +bB +bc其中,Ap,AB和Ac为 Hessian矩阵,上述方程称之为增量方程。33MU约束1)残差:两帧之间的PVQ和bias的变化量的差△tx+k+1bk qbk+1bR+1 xyz+g"△t)-Bk(20)sbbbb其中各增量关于bias的 Jacobian可从公式(16)的大 Jacobian中的相应位置获得。上面与代码中 Integration base: evaluateD对应,2)优化变量pb, 0W, Svb ,8ba:,bor Opb,, 80W ,Swb,, bakr, Sba3)Jacobian:计算 Jacobian时,残差对应求偏导对象分别为p6e,6vB,6h,ba],6b,6b

北京航空航天大学矩阵理论学习笔记，总结版，学霸总结，可以放心下载使用北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系月录§0补充公式§1 Jordan(约当)标准形(简介)§2线性变换与矩阵.24§3欧式空间与QR分解.48§4常用矩阵分解●鲁D●●·,,,,,74§5范数与级数.81§6广义逆A..97§7直积拉直及应用105矩阵理论A笔记北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系§0补充公式令A=(a)mxn∈C",风x)=4o+a1x0定义f(4)=a0+a1A+…+amAm,其中I=l若g(x)=bo+b1x+…+bkx,(x)g(x)=g(x)(x),则f(4)“g(A)=g(A)f(A)分块公式A10令A,A1,A2为方阵00 A(2)f(A),fx)为多项式令A=,A1,4为方阵AO(2)f(4)相似关系:A∽B,(PAP=B)则:(1)(P1AP)=P!AP,(k=0,1,2,(2)f(PAP)=PfA)P,f(x)为多项式许尔公式( schur):每个复方阼,A-(a)nxm都相似丁上三角形。共113页矩阵理论A笔记第1页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系即:P-1AP=其中41,,的次序可以任意指定Pf:用归纳法n=1时成立可以设为(n=1阶方阵成立对于n阶方阵A=(an)2×n设特征值为A,…,n取为对应的特征向量,记为a1≠0,A1=1ax1把a1扩展为可逆方阵Q=(a1,02,xn)22e又:g(a,a,…,.)=(Qa,Qba2,,Qan)其中Qe1,aQ0Q4=QA(a1a2,…an)2-I(Aa,,AAQ=(Qa,、+)…,(*)其中A1为(n-1所阶0人:0 A为由假设,对于A1必有(n-1)阶P,可推出PAPEg知n阶方阵A,适合A=0,则A+|=1共113页矩阵理论A笔记第2页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系Pf:A=0→任意特征值A=0→>=0即全体特征值为00,,00由需要P1AP=→PAP+7=1pAP+PP|=P(4+1)P=14+1→A+1=-1注(1)若AB(相似),则AB有相同特征值A,可引入记号:谱集(4)={2,2,…,λ}(全体特征值,含重复)A∽B→o()=o(B)(2)A∽B→1-A=1-B-(2-4元一2)…(-n),特征多项式PAP=B=A-A=p(1-A)P=A-B引理:若A0A2,则M-A|-|M1-4|-1-A1|2-A2→ar(4)=o(A)∪a(42k+1,Ak-2,…n1f(x2)设B,f(x)为多项式,则f(B)=o f(,)引理:若n阶方阵A的谱集(4)=1,42,…},则)的全体特社值为)2,…,),x)为多项式Pf:由许尔定理,A∽B→f(4)∽f(B)f(x)的全体特征值为(A1)(42),,()},fx)为多项式例如:4为A的特征值→x为4的特征值。(x)=x)共113页矩阵理论A笔记第3页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系引理:令B,f(x)=x-B|=(x-41)(x-12)….(x-n)则fB)=(B-1D(B-21)…(B-A1D=0Pf:当n=2时,B=0x2f(x)=(x-1)(x-2)000→f(B)-(B-41)(B-21)(2-元)0(00∴得证★ Cayley公式:设n阶方阵A的特征多项式为f(x)=|x-A|=a+a1x+…,+x则f4)=anl+a14+…,+4=0Pf:由许尔PAP=B=→P(4)P=fp3P)=f(B)=0(引理)定义若多项式x)使(4)=0,则称(x)为A的个零化式结论方阵A的特征多项式)=1x1-4为A的一个零化式g特征多项式fx)=x2可知:f(A)=A2+1=+I=00-1Hx)=|xI-A|=(x-)(x+i,(i=√-1,t2=-1)f(A)=(A-i)(4+i1=0也可取P=则PPAP=,对角形共113页矩阵理论A笔记第4页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系g:知A则A"=0Onxn由 Cayley特征多项式:f(x)=x"→f(4)=4"=0Ex 1. A=求P使得PP为对角阵,并验证 Cayley定理2.A=cd/,求fx)=x1-4验证f4)-0补充知识( schur公式、 Cayley公式)应用由A"=-(a0I+a1A+1A·AanA+a142+…+a.,A把①代入②→Am1=(-)+(+)4+…+(+)41可知:任何和(m≥n)都可写成,4,,A的线性组合任何多项式g(A),可写成lA,…,4的组合。Fg:若A|≠0,fx)=xI-A|=a0+a1x+…+x",ao=|-A|≠则A可用A的多项式表示∵a1A+a242+…+an21A-+A"--a072A(a1+a24+…+an-142+A)Aa1+…+an1A"2+A-1零化式定义:若g(x)=b+b1x+…+bnx,使得g(4)=bn+b14+…+bn4m=0,称g(x)为方阵A的零化式注:方阵A的零化式有无穷多个∴取特征多项式x)则4)=0任取式M(x),f(A(4)=0→f(x)(x)也是零化式极小式定义:在方阵A的零化式集合中,去次数最小的且首项系数为1的零化式m(x),称它为A的极小式共113页矩阵理论A笔记第5页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系注:极小式唯一性质:①极小式m(x)必为特征多项式fx)=|xI-A的因式。②特征多项式fx)=|x1-A的每个单因子(x-4)也是极小式的因子)f(x)=|x1-4=(x-x)(x-2)则极小式m(x)=(x-x)(x-2)y…(x-,),且1≤l1≤m1,1≤l2≤m2,…,1≤l≤n,41,A2…,n互不相同210EgA=020,B=020,求极小式mA(),m()解:(1)|xI-A|=(x-2)(x-1)极小式为:(x-2)(x-1)或(x-2)(x-1)计算:(4-2/)4-1)=000010k≠000000∴极小式为m4(x)=(x-2)2(x-1)(2)|-B|-=(x-2)2(x-1)00000计算:(B-2)B-1)=000010=000-1八000∴极小式为m(x)=(x-2)(x-1)Eg求下列极小式m(x)4604-60(1)A=-3-50,(2)B=2-303-6100210(3)C,(4)D=000010002000解:(1)特征多项式|x7-A|-(x-1)(x+2)极小式为:(x-1)(x+2)或(x-1)(x+2)共113页矩阵理论A笔记第6页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系验证:(4-D(A+2D=0∴极小式为m(x)-(x-1)(x+2)(3)解法如下引理:A1,A2的极小式为m1(x),m2(x)A10的极小式m(x)等丁m1(x),m2(x)的最小公倍式0A2(此引力可推广到A1,42,43)0100极小式为(x-1)2,0010极小式为(x-1)0取最小公倍式(x-1)2为C的极小式。460(5)F-/40,A1=020|,A00 A0123-6101O引理;设D=,则D的极小式m(x)O验证:先证D的性质(右推公式)设A-(an)xn=(a1,2,…,n)则有AD=(0,01,a2,,.m1)AD2=(0,0,∞1,,x12)AD=(0,….0.,a1,,axn)单位向量技巧:∵AI=A(en,e2…,en)=(el,leAen)=A=(a1, a2,. a,)∴Ae1=01,Ae2=(2,.,A→AD=A(0,e1,e2,…,en-1)=(0,a1,a2…,an-)同理AD2=(AD)D=(0,.01,.12)可知:D-1-(D)Dy2-(0.,0,,e1)≠0D"=(D)D1=0,而特征多项式(x)=|x1-D|=x,极小式为某个x共113页矩阵理论A笔记第7页

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