北航矩阵论学习笔记
北京航空航天大学矩阵理论学习笔记，总结版，学霸总结，可以放心下载使用北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系月录§0补充公式§1 Jordan(约当)标准形(简介)§2线性变换与矩阵.24§3欧式空间与QR分解.48§4常用矩阵分解●鲁D●●·,,,,,74§5范数与级数.81§6广义逆A..97§7直积拉直及应用105矩阵理论A笔记北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系§0补充公式令A=(a)mxn∈C",风x)=4o+a1x0定义f(4)=a0+a1A+…+amAm,其中I=l若g(x)=bo+b1x+…+bkx,(x)g(x)=g(x)(x),则f(4)“g(A)=g(A)f(A)分块公式A10令A,A1,A2为方阵00 A(2)f(A),fx)为多项式令A=,A1,4为方阵AO(2)f(4)相似关系:A∽B,(PAP=B)则:(1)(P1AP)=P!AP,(k=0,1,2,(2)f(PAP)=PfA)P,f(x)为多项式许尔公式( schur):每个复方阼,A-(a)nxm都相似丁上三角形。共113页矩阵理论A笔记第1页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系即:P-1AP=其中41,,的次序可以任意指定Pf:用归纳法n=1时成立可以设为(n=1阶方阵成立对于n阶方阵A=(an)2×n设特征值为A,…,n取为对应的特征向量,记为a1≠0,A1=1ax1把a1扩展为可逆方阵Q=(a1,02,xn)22e又:g(a,a,…,.)=(Qa,Qba2,,Qan)其中Qe1,aQ0Q4=QA(a1a2,…an)2-I(Aa,,AAQ=(Qa,、+)…,(*)其中A1为(n-1所阶0人:0 A为由假设,对于A1必有(n-1)阶P,可推出PAPEg知n阶方阵A,适合A=0,则A+|=1共113页矩阵理论A笔记第2页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系Pf:A=0→任意特征值A=0→>=0即全体特征值为00,,00由需要P1AP=→PAP+7=1pAP+PP|=P(4+1)P=14+1→A+1=-1注(1)若AB(相似),则AB有相同特征值A,可引入记号:谱集(4)={2,2,…,λ}(全体特征值,含重复)A∽B→o()=o(B)(2)A∽B→1-A=1-B-(2-4元一2)…(-n),特征多项式PAP=B=A-A=p(1-A)P=A-B引理:若A0A2,则M-A|-|M1-4|-1-A1|2-A2→ar(4)=o(A)∪a(42k+1,Ak-2,…n1f(x2)设B,f(x)为多项式,则f(B)=o f(,)引理:若n阶方阵A的谱集(4)=1,42,…},则)的全体特社值为)2,…,),x)为多项式Pf:由许尔定理,A∽B→f(4)∽f(B)f(x)的全体特征值为(A1)(42),,()},fx)为多项式例如:4为A的特征值→x为4的特征值。(x)=x)共113页矩阵理论A笔记第3页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系引理:令B,f(x)=x-B|=(x-41)(x-12)….(x-n)则fB)=(B-1D(B-21)…(B-A1D=0Pf:当n=2时,B=0x2f(x)=(x-1)(x-2)000→f(B)-(B-41)(B-21)(2-元)0(00∴得证★ Cayley公式:设n阶方阵A的特征多项式为f(x)=|x-A|=a+a1x+…,+x则f4)=anl+a14+…,+4=0Pf:由许尔PAP=B=→P(4)P=fp3P)=f(B)=0(引理)定义若多项式x)使(4)=0,则称(x)为A的个零化式结论方阵A的特征多项式)=1x1-4为A的一个零化式g特征多项式fx)=x2可知:f(A)=A2+1=+I=00-1Hx)=|xI-A|=(x-)(x+i,(i=√-1,t2=-1)f(A)=(A-i)(4+i1=0也可取P=则PPAP=,对角形共113页矩阵理论A笔记第4页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系g:知A则A"=0Onxn由 Cayley特征多项式:f(x)=x"→f(4)=4"=0Ex 1. A=求P使得PP为对角阵,并验证 Cayley定理2.A=cd/,求fx)=x1-4验证f4)-0补充知识( schur公式、 Cayley公式)应用由A"=-(a0I+a1A+1A·AanA+a142+…+a.,A把①代入②→Am1=(-)+(+)4+…+(+)41可知:任何和(m≥n)都可写成,4,,A的线性组合任何多项式g(A),可写成lA,…,4的组合。Fg:若A|≠0,fx)=xI-A|=a0+a1x+…+x",ao=|-A|≠则A可用A的多项式表示∵a1A+a242+…+an21A-+A"--a072A(a1+a24+…+an-142+A)Aa1+…+an1A"2+A-1零化式定义:若g(x)=b+b1x+…+bnx,使得g(4)=bn+b14+…+bn4m=0,称g(x)为方阵A的零化式注:方阵A的零化式有无穷多个∴取特征多项式x)则4)=0任取式M(x),f(A(4)=0→f(x)(x)也是零化式极小式定义:在方阵A的零化式集合中,去次数最小的且首项系数为1的零化式m(x),称它为A的极小式共113页矩阵理论A笔记第5页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系注:极小式唯一性质:①极小式m(x)必为特征多项式fx)=|xI-A的因式。②特征多项式fx)=|x1-A的每个单因子(x-4)也是极小式的因子)f(x)=|x1-4=(x-x)(x-2)则极小式m(x)=(x-x)(x-2)y…(x-,),且1≤l1≤m1,1≤l2≤m2,…,1≤l≤n,41,A2…,n互不相同210EgA=020,B=020,求极小式mA(),m()解:(1)|xI-A|=(x-2)(x-1)极小式为:(x-2)(x-1)或(x-2)(x-1)计算:(4-2/)4-1)=000010k≠000000∴极小式为m4(x)=(x-2)2(x-1)(2)|-B|-=(x-2)2(x-1)00000计算:(B-2)B-1)=000010=000-1八000∴极小式为m(x)=(x-2)(x-1)Eg求下列极小式m(x)4604-60(1)A=-3-50,(2)B=2-303-6100210(3)C,(4)D=000010002000解:(1)特征多项式|x7-A|-(x-1)(x+2)极小式为:(x-1)(x+2)或(x-1)(x+2)共113页矩阵理论A笔记第6页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系验证:(4-D(A+2D=0∴极小式为m(x)-(x-1)(x+2)(3)解法如下引理:A1,A2的极小式为m1(x),m2(x)A10的极小式m(x)等丁m1(x),m2(x)的最小公倍式0A2(此引力可推广到A1,42,43)0100极小式为(x-1)2,0010极小式为(x-1)0取最小公倍式(x-1)2为C的极小式。460(5)F-/40,A1=020|,A00 A0123-6101O引理;设D=,则D的极小式m(x)O验证:先证D的性质(右推公式)设A-(an)xn=(a1,2,…,n)则有AD=(0,01,a2,,.m1)AD2=(0,0,∞1,,x12)AD=(0,….0.,a1,,axn)单位向量技巧:∵AI=A(en,e2…,en)=(el,leAen)=A=(a1, a2,. a,)∴Ae1=01,Ae2=(2,.,A→AD=A(0,e1,e2,…,en-1)=(0,a1,a2…,an-)同理AD2=(AD)D=(0,.01,.12)可知:D-1-(D)Dy2-(0.,0,,e1)≠0D"=(D)D1=0,而特征多项式(x)=|x1-D|=x,极小式为某个x共113页矩阵理论A笔记第7页
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Latex排版学习笔记
Latex排版学习笔记，用于Latex学习入门与提高。共9章内容，较为全面。目录第一章基本使用1.1基本排版流程1.2文本排版..1.2.1英文文档12.2输入特殊字符1.2.3段落换行124中文文档777789991.3列表环境1.4文档结构101.4.1文档类别101.4.2标题摘要111.4.3章节目录1.4.4参考文献121.5插入表格131.5.1基本表格131.5.2跨列表格131.5.3浮动表格141.6插入图片151.6.1图文并排的小图片16.2图文分开的大图片161.6.3位置浮动的大图片17第二章格式调整21各种长度单位1922字体使用192.2.1字体编码193日录222字体族名20223字体系列20224字体形状20225字体大小23段落对齐2223.1居中对齐22232单侧对齐2224页面大小布局232.5目录页格式24第三章数学公式2631两种公式263.2各种字母273.3数学函数3.4配对括号283.5多行公式3.6定理环境31第四章图形绘制334.1画交换图3341.1用 ascd包画交换图3341.2用 diagrams包画交换图33413用ⅹy-pic包画交换图344.2画图语言和画图软件3543PGF/TkZ绘图364.3.1画流程图3643.2函数图像374.3.3几何图形第五章演示文稿395.1最简单例子5.2逐步显示4153主题模板4254中文演示43目录第六章高级应用446.1输入各种撇号引号6.2文件拆分及独立编译446.3合并多个PDF文件6.4错误处理466.4.1编译时的错误信息476.4.2编译时的警告信息47第七章背景资料7.1TeX系统的前世今生497.2TeX系统的目录结构507.3TeX系统的文件查找51第八章字体详解8.1字体类型与文档格式548.2新字体选择方案NFSS5583中文排版历程568.3.1CCT中文排版8.3.2CJK中文排版578.3.3 XeTeX中文排版第九章相关软件609.1纯文本编辑器609.1.1 TeXmaker编辑器6091.2 Te Xworks编辑器619.1.3正向搜索与反向搜索629.2可视化编辑器639.2.1IyX文档处理软件639.22 TeXmacs文档排版软件659.3新版 Office的公式排版6694在网页中显示数学公式67附录ATeX排版原理69A.1读取文件A.2生成盒子70A.3分段为行71A.4组行为页6日录附录 B PostScript语言75B.1PS语言的基本知识B.2PS语言的点阵图像B.3PS语言的点阵字体附录C常用宏包介绍81第一章基本使用1.1基本排版流程和 Microsoft office Word等所见即所得的办公软件不同,用Ix排版文档,首先要用文本编辑器编辑好tex文档,然后通过各种程序编译,得到pdf文档用于打印或者阅读。基本的排版流程如下图:xelatextexpalatelatexs pdfdvipsd.ps般我们经常用 datex或者 xelatex程序直接从tex文件生成pdf文件如果是中文tex文档,优先使用ⅹ elate程序编译。如何使用编辑器以及编译文档在后面的章节有详细介绍。12文本排版121英文文档最简单的TX英文文档如下:第一章基本使用l hello. texdocumentclass La4paper]articlesusepackagethyperref]egintdocumentyHello worldend]我们来看看上面的tex文档内容。在Ix里面,每行的%符号后面的内容都表示注释,在编译时都会被忽略。因此第一行的内容没有任何结果接着看第二行。在ⅣX文档中,用开始的字母串来表示一个命令,这里的 documentclass是1X文档的基本命令,用于指明文档类。命令后面用花括号包含的内容是该命令的参数,必不可少。对于这个例子, article参数就指明我们撰写的是一篇文章,类似地还可以用book或者 report参数,分别表示书籍和报告。命令后用方括号[]包含的内容是该命令的选项,选项可以省略,省略时必需连冋方括号也去掉。如果选项省略,将会使用默认值。这里例了的a4 paper指明我们文档的页面是A4纸张的大小,改为b5 paper就是B5纸张的大小。第三行的 usepackage命令也是IX的基本命令,用于载入I①X宏包I系统中包含了各种各样的宏包,对IX的基本功能作了各种扩展。我们这一行载入的 hyperref宏包后面将介绍到。接下来在 begin{ document}和 endidocument}之间的部分我们称为正文区,一般用于正文内容的撰写。这个例子的正文内容只有简单的 Hello wor1d!对应的,在 documentclass和 beginidocument}命令之间的部分我们称为导言区,一般用于载入宏包,定义命令和调整格式。X文档把格式和内容部分分开,是一种良好的设计准则。1.2.2输入特殊字符在ⅣX的文本内容中,大部分字符都可以直接输入,但是#,$,%,&,{,}这几个字符由于有特殊用途不能直接输入。我们可以按照下表的方式输入这些特殊字符输入#${}、-O显示#8%k输入 Textless extgreater extbartextbackslash显示1.3列表环境另外, Latex中是区分左右引号的,输入`和‘分别显示左右单引号,输入`和“分别显示左右双引号。连字号、起止号和破折号看起来都是一个差不多的短横线,但输入的方式也是不同的。用-得到连接单词的连字号-,用--得到表示数字范围的起止号,用---得到英文的破折号。123段落换行用一个空行或者par命令可以开始新的段落,同时会有默认的首行缩进。用或者 newline可以强制换行在下一行继续,且在下一行不会有缩进。12.4中文文档Latex中文文档的排版有各种方式,例如CCT,CJK,ⅹeCJK等等。目前最优秀的方式是用ctex文档类来排版中文文档,它在其它各种方式的基础上以一致的方式解决了中文排版的问题。例如:documentclass [UTF8] Ictexart]eginidocument)中文内容测试!endfdocumentH使用这种方式,只需要将文档类从英文的 article改成 ctexart,所有中文环境和章芇编号等等都已绎按照中文习惯设置好了,简单易行。例子屮的UIF8这个可选参数指明了中文文档的编码。编码主要有这两种:GBK和UTF8,而不同的 Latex编辑器对中文文档的默认编码不同。以CTeX套装29版本包含的两个编辑器为例, Winedt编辑器的默认中文编码为GBK,而ReWorks编辑器的默认中文编码为UTF8。因此,对于初学者,为了避免乱码的出现,最好根据编辑器的默认情形来选择编码,如果使用的是 Winedt编辑器,将文档的编码设为GBK,如果使用的是reκ works编辑器,将文档的编码设为UTF8。如果编码不指定,默认为GBK另外,对于bok和 report文档类,也有对应的 ctexbook和 ctexrep中文文档类,其用法类似。1.3列表环境Latex的命令实际上也有不同的类型,形如begin环境名}.lend环境名}第一章基本使用的命令组合我们称为环境。环境一般用于对某种类型的段落用特殊的形式来显示。在文本段落中,常见的环境有列表环境。列表环境有三种:无序列表( itemize)、有序列表( enumerate)和描述列表( description)。它们的使用方式和显示效果如eginfitemize]item无编号的列表无编号的列表item带编号的列表·带编号的列表item带标签的列表带标签的列表end[]Abegintenumeratehitem无编号的列表1.无编号的列表item带编号的列表2.带编号的列表iem带标签的列表3.带标签的列表endtenumeratelegintdescriptionhitem[无序列表]无编号的列表。无序列表无编号的列表。item[有序列表]带编号的列表。有序列表带编号的列表item[描述列表]带标签的列表。描述列表带标签的列表。endidescriptionh14文档结构4.1文档类别前面已经讲过,用下面的命令可以指定文档类documentclass[选项]{文档类其中文档类有文章( article),书籍(book),报告( report),书信( letter)这几种选择。文档类的选项有下面这些。页面大小(a4 paper,a5 paper,b4 paper, letterpaper, legalpaper, executiveper):默认的 letterpaper常见于美国,其大小为216毫米乘以279毫米(即8.5英寸乘以11英寸),而国内常用的a4 paper的大小为210毫米乘以297毫米,两者稍有区别。虽然这里可以指定不同的页面大小,但是纸张却始终为A4大小。比如你指定为A5页面大小,那么生成的PDF文件中,内容只在A4纸张的左上角。
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