北航矩阵论学习笔记
北京航空航天大学矩阵理论学习笔记，总结版，学霸总结，可以放心下载使用北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系月录§0补充公式§1 Jordan(约当)标准形(简介)§2线性变换与矩阵.24§3欧式空间与QR分解.48§4常用矩阵分解●鲁D●●·,,,,,74§5范数与级数.81§6广义逆A..97§7直积拉直及应用105矩阵理论A笔记北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系§0补充公式令A=(a)mxn∈C",风x)=4o+a1x0定义f(4)=a0+a1A+…+amAm,其中I=l若g(x)=bo+b1x+…+bkx,(x)g(x)=g(x)(x),则f(4)“g(A)=g(A)f(A)分块公式A10令A,A1,A2为方阵00 A(2)f(A),fx)为多项式令A=,A1,4为方阵AO(2)f(4)相似关系:A∽B,(PAP=B)则:(1)(P1AP)=P!AP,(k=0,1,2,(2)f(PAP)=PfA)P,f(x)为多项式许尔公式( schur):每个复方阼,A-(a)nxm都相似丁上三角形。共113页矩阵理论A笔记第1页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系即:P-1AP=其中41,,的次序可以任意指定Pf:用归纳法n=1时成立可以设为(n=1阶方阵成立对于n阶方阵A=(an)2×n设特征值为A,…,n取为对应的特征向量,记为a1≠0,A1=1ax1把a1扩展为可逆方阵Q=(a1,02,xn)22e又:g(a,a,…,.)=(Qa,Qba2,,Qan)其中Qe1,aQ0Q4=QA(a1a2,…an)2-I(Aa,,AAQ=(Qa,、+)…,(*)其中A1为(n-1所阶0人:0 A为由假设,对于A1必有(n-1)阶P,可推出PAPEg知n阶方阵A,适合A=0,则A+|=1共113页矩阵理论A笔记第2页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系Pf:A=0→任意特征值A=0→>=0即全体特征值为00,,00由需要P1AP=→PAP+7=1pAP+PP|=P(4+1)P=14+1→A+1=-1注(1)若AB(相似),则AB有相同特征值A,可引入记号:谱集(4)={2,2,…,λ}(全体特征值,含重复)A∽B→o()=o(B)(2)A∽B→1-A=1-B-(2-4元一2)…(-n),特征多项式PAP=B=A-A=p(1-A)P=A-B引理:若A0A2,则M-A|-|M1-4|-1-A1|2-A2→ar(4)=o(A)∪a(42k+1,Ak-2,…n1f(x2)设B,f(x)为多项式,则f(B)=o f(,)引理:若n阶方阵A的谱集(4)=1,42,…},则)的全体特社值为)2,…,),x)为多项式Pf:由许尔定理,A∽B→f(4)∽f(B)f(x)的全体特征值为(A1)(42),,()},fx)为多项式例如:4为A的特征值→x为4的特征值。(x)=x)共113页矩阵理论A笔记第3页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系引理:令B,f(x)=x-B|=(x-41)(x-12)….(x-n)则fB)=(B-1D(B-21)…(B-A1D=0Pf:当n=2时,B=0x2f(x)=(x-1)(x-2)000→f(B)-(B-41)(B-21)(2-元)0(00∴得证★ Cayley公式:设n阶方阵A的特征多项式为f(x)=|x-A|=a+a1x+…,+x则f4)=anl+a14+…,+4=0Pf:由许尔PAP=B=→P(4)P=fp3P)=f(B)=0(引理)定义若多项式x)使(4)=0,则称(x)为A的个零化式结论方阵A的特征多项式)=1x1-4为A的一个零化式g特征多项式fx)=x2可知:f(A)=A2+1=+I=00-1Hx)=|xI-A|=(x-)(x+i,(i=√-1,t2=-1)f(A)=(A-i)(4+i1=0也可取P=则PPAP=,对角形共113页矩阵理论A笔记第4页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系g:知A则A"=0Onxn由 Cayley特征多项式:f(x)=x"→f(4)=4"=0Ex 1. A=求P使得PP为对角阵,并验证 Cayley定理2.A=cd/,求fx)=x1-4验证f4)-0补充知识( schur公式、 Cayley公式)应用由A"=-(a0I+a1A+1A·AanA+a142+…+a.,A把①代入②→Am1=(-)+(+)4+…+(+)41可知:任何和(m≥n)都可写成,4,,A的线性组合任何多项式g(A),可写成lA,…,4的组合。Fg:若A|≠0,fx)=xI-A|=a0+a1x+…+x",ao=|-A|≠则A可用A的多项式表示∵a1A+a242+…+an21A-+A"--a072A(a1+a24+…+an-142+A)Aa1+…+an1A"2+A-1零化式定义:若g(x)=b+b1x+…+bnx,使得g(4)=bn+b14+…+bn4m=0,称g(x)为方阵A的零化式注:方阵A的零化式有无穷多个∴取特征多项式x)则4)=0任取式M(x),f(A(4)=0→f(x)(x)也是零化式极小式定义:在方阵A的零化式集合中,去次数最小的且首项系数为1的零化式m(x),称它为A的极小式共113页矩阵理论A笔记第5页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系注:极小式唯一性质:①极小式m(x)必为特征多项式fx)=|xI-A的因式。②特征多项式fx)=|x1-A的每个单因子(x-4)也是极小式的因子)f(x)=|x1-4=(x-x)(x-2)则极小式m(x)=(x-x)(x-2)y…(x-,),且1≤l1≤m1,1≤l2≤m2,…,1≤l≤n,41,A2…,n互不相同210EgA=020,B=020,求极小式mA(),m()解:(1)|xI-A|=(x-2)(x-1)极小式为:(x-2)(x-1)或(x-2)(x-1)计算:(4-2/)4-1)=000010k≠000000∴极小式为m4(x)=(x-2)2(x-1)(2)|-B|-=(x-2)2(x-1)00000计算:(B-2)B-1)=000010=000-1八000∴极小式为m(x)=(x-2)(x-1)Eg求下列极小式m(x)4604-60(1)A=-3-50,(2)B=2-303-6100210(3)C,(4)D=000010002000解:(1)特征多项式|x7-A|-(x-1)(x+2)极小式为:(x-1)(x+2)或(x-1)(x+2)共113页矩阵理论A笔记第6页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系验证:(4-D(A+2D=0∴极小式为m(x)-(x-1)(x+2)(3)解法如下引理:A1,A2的极小式为m1(x),m2(x)A10的极小式m(x)等丁m1(x),m2(x)的最小公倍式0A2(此引力可推广到A1,42,43)0100极小式为(x-1)2,0010极小式为(x-1)0取最小公倍式(x-1)2为C的极小式。460(5)F-/40,A1=020|,A00 A0123-6101O引理;设D=,则D的极小式m(x)O验证:先证D的性质(右推公式)设A-(an)xn=(a1,2,…,n)则有AD=(0,01,a2,,.m1)AD2=(0,0,∞1,,x12)AD=(0,….0.,a1,,axn)单位向量技巧:∵AI=A(en,e2…,en)=(el,leAen)=A=(a1, a2,. a,)∴Ae1=01,Ae2=(2,.,A→AD=A(0,e1,e2,…,en-1)=(0,a1,a2…,an-)同理AD2=(AD)D=(0,.01,.12)可知:D-1-(D)Dy2-(0.,0,,e1)≠0D"=(D)D1=0,而特征多项式(x)=|x1-D|=x,极小式为某个x共113页矩阵理论A笔记第7页
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基于PIC单片机的风光互补路灯照明控制器
基于PIC单片机的风光互补路灯照明控制器薛林,等基于PC单片机的风光互补路灯照明控制器成对蓄电池的充电。当光照较弱时,由于此时光DC-DC电路、实时时钟电路、充放电保护电路、伏板先将电能储存在电容,当电容的电压达到最路灯开关电路等组成;从控制器由液晶显示以及大功率点时再将电能转到蓄电池上,即只要光伏键盘组成(图3)。两个单片机之间通过RS232板产生电能,无论其电流多小都可以对蓄电池进DB9接口进行异步串行通信,即通过从控制器的行充电,最大限度地提取光伏板中的电流,充分键盘设置相关系统信息(主要包括日期设置、时利用光伏板。间设置、平均开灯时间设置、平均关灯时间设置3硬件电路时差设置、节能管理时数设置、蓄电池过充电压本文设计了一种新型的路灯控制器,其微处设置、蓄电池过放电压设置),然后传给主控制理器芯片均采用的是PC16F877。控制器包含主器。同时,在两个控制器相连时,主控制器的时间控制器和从控制器两个部分:主控制器主要由信息在从控制器的液晶上显示。NL ELtasRM4IAAnAAARWNF-I7 noa图3时钟及PWM产生电路Fig 3 Clock and the PWM generation circuit主控制器能够实现对蓄电池的充放电管理,DS12C887能够自动产生世纪、年、月、日、时、防止过充、过放。它有两路脉宽调制器(PWM)通分、秒等时间信息。DS12C887中自带有锂电道和8路可编程AD转换器通道,通过AD输池,外部掉电时,其内部时间信息还能够保持入口实现对蓄电池的采样测量,实现蓄电池的过10a。对于一天内的时间记录,有12h制和充、过放保护以及路灯光控开关。充电开关电路24h制两种模式,在12h制模式中,用AM和由两根控制线(光伏充电电路的PWM信号和风PM区分上午和下午。时间的表示方法有两机的PWM信号)与微处理器的PWM端口相连种:一种用二进制数表示,一种是用BCD码表接,实现PwM控制脉冲充电,能够极大地提高示。DS12C887中带有128字节RAM,其中有系统充电效率。放电开关电路也由两根控制线与11字节RAM用来存储时间信息,4个字节微处理器相连,控制开关动作,它能够实现光源RAM用来存储DS12C887的控制信息(称为控的开关和功耗调节。本控制器采用的节能管理方制寄存器),113字节通用RAM便于用户使式是在一个灯杆上安装两个灯,从天黑时到晚上用。另外,用户还可对DS12C887进行编程以节能管理时间之前两盏灯同时点亮,系统全功率实现多种方波输出,并可对其内部的3路中运行;到节能管理时数之后关掉其中一盏灯,系断,通过软件进行屏蔽。统半功率输出;为了延长路灯的使用寿命,采用基于时钟芯片Ds12C887,本文所设计的控两盏灯循环利用方式,即日期为偶数,在节能管制器是采用时空方式进行开关灯控制的,一年四理时间关掉A灯,日期为奇数,在节能管理时间季的开关灯时间变化如图4所示。可以通过在从关掉B灯。控制器上对当地的平均开关灯时间(即春分和秋本控制器采用的时钟芯片是 DALLAS公分时的开关灯时间)和时差进行设置,利用软件司生产的实时日历时钟芯片DS12C887,计算出当天的开关灯时间。可耳能骠2011,29(1)外,用户通过键盘对系统信息进行修改后,由从开灯时间控制器发送给主控制器进行处理。5结语本文介绍了一种用于风光互补路灯照明系关灯时间统的新型智能控制器。控制器由主控制器和从控制器组成,微处理器均采用PC16F877芯片。主控制器主要由DC-DC电路、实时时钟电路、充放春分夏至秋分冬至电保护电路、路灯开关电路等组成,从控制器由节气液晶显示以及键盘组成。两个单片机之间通过图4开关灯时间变化图RS232DB9接口进行异步串行通信,即通过从控Fig4 Turnon and turn off time variation制器的键盘设置相关的系统信息(主要包括:日从控制器主要由液晶显示和键盘组成。显示期设置时间设置、平均开灯时间设置、平均关灯部分是人机对话的窗口,具有重要作用。根据用时间设置时差设置、节能管理时数设置蓄电池户需求,控制器要实现的显示功能有日期设置、过充电压设置、蓄电池过放电压设置),然后传给时间设置、平均开灯时间设置、平均关灯时间设主控制器。同时,在两个控制器相连时,将主控制置、时差设置、节能管理时数设置、蓄电池过充电器的时间信息在从控制器的液晶上显示。试验和压设置、蓄电池过放电压设置。从控制器使用运行结果表明,应用此智能控制器的照明系统,LCD12864-12液晶显示模块,这种字符型液晶模具有效率高、稳定性好的优点,并能长期自动运块是一种带汉字库的液晶显示模块,可以进行4行在免维护状态下,具有广阔的应用前景。行字符显示。模块允许单片机随时访问显示参考文献RAM并可进行位操作。用户通过键盘模块对充昊理博,赵争鸣刘建政用于太阳能照明系统的智放电各种参数进行设置,本控制器采用中断的方能控制器[J清华大学学报(自然科学版),2003,43式进行按键处理。由于PIC单片机的 PORTB各(9):1195-1198端口具有弱上拉功能,只要通过软件设置相应的[2]谢小英,阴文平黄成德,阀控式铅酸电池的研究现控制位即可。并且 PORTB端口的高四位,即状与展望[电池,2009,39(1):47-48RB4~RB7引脚的电平发生变化时会产生中断。 KirCHEV A, DELAILLE A, KAROUI F,etat, Studies用电平变化产生中断的方式可以大大提高效率。of the pulse charge of lead-acid batteries for PV applications (I), Factors influencing the mechanism of the4软件设计pulse charge of the positive plate[J]. J Power Sources,主控制器和从控制器之间会实时地进行通2008,177(1):217-225信,主控制器通过异步通信方式把从时钟芯片凹张月滨,王星博,任永乐,等,延长铅酸电池寿命保护DS12C877读取的时钟信息传送到从控制器,从装置的设计门电池,2007,37(3):226-228控制器将其在液晶模块12864上进行显示。另DOI】CNKI:21-1469/TK201101261721006一++十“+“m+m“+“太阳能产业将成新兴能源支柱产业太阳能是目前最具发展前景的新能源。近几年我国全国能源工作会议上表示,下一步将加强太阳能行业规t太阳能产业发展势头迅猛,2010年全国光伏发电装机规划和准入管理,引导产业健康发展,把它培养成为我国模约达到60万kW。但光伏行业也承受着产能过剩、高先进的装备制造产业和新兴能源支柱产业。在具体落实牦能、高污染的质疑。上,要继续推广利用太阳能热水器,加大对太阳能发电经过多年发展,我国已形成了比较完整的太阳能光技术研发的支持。建设国家级太阳能研发试验中心,增伏产业链,对国内太阳能光伏发电市场的评价是:启动加财政和企业的研发投入。要在太阳能资源丰富、具有有序,起步良好。当前的主要问题是太阳能光伏发电转荒漠和荒芜土地资源的地区,建设一批大型并网光伏示化效率较低,发电成本较高。范电站。在内蒙古、甘肃、青海、新疆、西藏的适宜地区,国家发展改革委副主任、国家能源局局长张国宝在开展太阳能热发电试点〈来源中国经济网〉·110
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