反向传播算法推导—全连接神经网络
反向传播算法是人工神经网络训练时采用的一种通用方法，在现代深度学习中得到了大 规模的应用。全连接神经网络(多层感知器模型，MLP)，卷积神经网络(CNN)，循环神 经网络(RNN)中都有它的实现版本。算法从多元复合函数求导的链式法则导出，递推的 计算神经网络每一层参数的梯度值。算法名称中的“误差”是指损失函数对神经网络每一层 临时输出值的梯度。反向传播算法从神经网络的输出层开始，利用递推公式根据后一层的误 差计算本层的误差，通过误差计算本层参数的梯度值，然后将差项传播到前一层(w, x,)+b这个神经元接受的输入信号为向量(),向量()为输入向量的组合权重,为徧置项,是标量。神经儿对输入冋量进行加权求和,并加上偏置项最后经过激活函数变换产生输出为表述简洁,我们把公式写成向量和矩阵形式。对每个神经元,它接受的来自前一层神经元的输入为向量,本节点的权重向量为,偏置项为,该神经元的输出值为先计算输入向量与权重向量的内积,加上偏置项,再送入一个函数进行变换,得到输出这个函数称为激活函数,典型的是函数。为什么需要激活函数以及什么样的函数可以充当激活函数,在之前的公众号文章“理解神经网终的激活函数”中已经进行了介绍。神绎网络一般有多个层。第一层为输入层,对应输入向量,神绎元的数量等于特征向量的维数,这个层不对数据进行处理,只是将输入向量送入下一层中进行计算。中间为隐含层,可能有多个。最后是输出层,神经元的数量等于要分类的类别数,输出层的输岀值被用来做分类预测。下面我们来看一个简单神经网络的例了,如下图所示这个网络有层。第一层是输入层,对应的输入向量为,有个神经元,写成分量形式为(),它不对数据做任何处理,直接原样送入下一层。中间层有个神经元,接受的输入数据为向量,输出向量为,写成分量形式为。第三个层为输出层,接受的输入数据为向量,输出向量为,写成分量形式为()。第一层到第层的权重矩阵为(,第二层到第三层的权重矩阵为()。权重矩阵的每一行为一个权重向量,是层所有神经元到本层某一个神经儿的连接权重,这里的上标表小层数如果激活函数选用函数,则第二层神经元的输出值为+(-(+0)+(1+(0)(-(()第三层神经元的输出值为如果把代入上面二式中,可以将输出向量表示成输出向量的函数。通过调整权重矩阵和偏置项可以实现不同的函数映射,因此神经网终就是一个复合函数需要解决的·个核心问题是·旦神经网络的结构(即神经元层数,每层神经元数量)桷定之后,怎样得到权重矩阵和偏置项。这些参数是通过训练得到的,这是本文推导的核心任务个简单的例子首先以前面的层神经网络为例,推导损失函数对神经网络所有参数梯度的计算方法假设训练样本集中有个样本()。其中为输入向量,为标签向量。现在要确定神经网络的映射函数:什么样的函数能很好的解释这批训练栟本?答案是神经网络的预测输出要尽可能的接近样本的标签值,即在训练集上最小化预测误差,如果使用均方误差,则优化的目标为:∑‖()-其中()和都是向量,求和项内部是向量的范数平方,即各个分量的平方和。上面的误差也称为欧氏距离损失函数,除此之外还可以使用其他损失函数,如交叉熵、对比损失等。优化目标函数的自变量是各层的权重矩阵和梯度向量,一般情况下无法保证目标函数是凸函数,因此这不是一个凸优化问题,有陷入局部极小值和鞍点的风险(对于这些概念和问题之前的公众号文章“理解梯度下降法”,“理解凸优化”中己经做了详细介绍)这是神经网络之前一直被诟病的一个问题。可以使用梯度下降法进行求解,使用梯度下降法需要计算出损失函数对所有权重矩阵、偏置向量的梯度值,接下来的关键是这些梯度值的计算。在这里我们先将问题简化,只考虑对单个样本的损失函数()-‖后面如果不加说明,都使用这种单样木的损失函数。如果计算出了对单个样木损失函数的棁度值,对这些梯度值计算均值即可得到整个目标函数的梯度值。和(要被代入到网络的后一层中,是复合函数的内层变量,我们先考虑外层的和。权重矩阵是一个x的矩阵,它的两个行分别为向量(和是个维的列向量,它的两个元素为()和()。网络的输入是向量,第一层映射之后的输出是向量首先计算损失函数对权重矩阵每个元素的偏导数,将欧氏距离损尖函数展开,有((+))(())6(如果,即对权重矩阵第行的元素求导,上式分了中的后半部分对来说是常数。根据链式法则有S()+()O如果,即对矩阵第二行的元素求导,类似的有:可以统一写成可以发现,第一个下标决定了权重矩阵的第行和偏置向量的第个分量,第二个下标决定了向量的第个分量。这可以看成是一个列向量与一个行向量相乘的结果,写成矩阵形式为上式中乘法⊙为向量对应元素相乘,第二个乘法是矩阵乘法。是个维列向量,+也是一个维列向量,两个向量执行⊙运算的结果还是个维列向量。是一个元素的列向量,其转置为维行向量,前面这个:维列向量与的乘积为的矩阵,这正好与矩阵的尺寸相等。在上面的公式中,权重的偏导数在求和项中由部分组成,分别是网络输出值与真实标签值的误差激活区数的导数+(),本层的输入值。神经网络的输出值、激活函数的导数值本层的输入值都可以在正向传播吋得到,因此可以晑效的计算出来。对所有训练样本的偏导数计算均值,可以得到总的偏导数对偏置项的偏导数为:如果上式分子中的后半部分对来说是常数,有:()⊥()如果类似的有这可以统写成:写成矩阵形式为偏置项的导数由两部分组成,分别是神经网络预测值与真实值之间的误差,激活函数的导数值,与权重矩阵的偏导数相比唯一的区别是少了。接下来计算对和的偏导数,由于是复合函数的内层,情况更为复杂。()是个的短阵,它的个行向量为(),(,(,(。偏置项()是维向量,个分量分别是(),(,(),(。首先计算损失函数对的元素的偏导数:而上式分子中的两部分都有,因此都与有关。为了表述简活,我们令:根据链式法则有:其巾((和和都是标量和()是两个()向量的内积,的每一个分量都是()的函数。接下来计算和这里的一是个向量,衣示的每个分量分别对求导。当时有:后面个分量相对于求导变量(都是常数。类似的当时有:()0)(()和时的结果以此类推。综合起来有:同理有:()十如果令合并得到()()[()-)。()。()写成矩阵形式为()最后计算偏置项的偏导数()类似的我们得到:合并后得到()写成矩阵形式为:(0)至此,我得到了这个简单网络对所有参数的偏导数,接下来我们将这种做法推广到更般的情况。从上面的结果可以看岀一个规律,输出层的权重矩阵和偏置向量梯度计算公式中共用了()-)()对」隐含层也有类似的结果完整的算法现在考虑一般的情况。假设有个训练样本(),其中为输入向量,为标签向量。训练的目标是最小化样木标签值与神经网络预测值之闩的误差,如果使用均方误差,则优化的目标为:其中为神经网络所有参数的集合,包括各层的权重和偏置。这个最优化问题是·个不带约束条件的问题,可以用梯度下降法求解。上面的误差函数定义在整个训练样本集上,梯度下降法每一次迭代利用了所有训练样本,称为批量棁度卜降法。如果样木数量很大,每次迭代都用所有样木进计算成木太高。为了解决这个问题,可以采用单样本梯度下降法,我们将上面的损失函数写成对单个样本的损失函数之和:定义对单个样本()的损失函数为)=-()如果采用单个样本进行迭代,梯度下降法第次迭代时参数的更新公式为:nV如果要用所有样本进行迭代,根据单个样本的损失函数梯度计算总损失梯度即可,即所有样本梯度的均值用梯度下降法求解需要初始化优化变量的值。一般初始化为一个随机数,如用正态分布(a)产生这些随机数,其中G是一个很小的正数到日前为止还有一个关键问题没有解决:日标函数是一个多层的复合函数,因为神经网络中每一层都有权重矩阵和偏置向量,且每一层的输出将会作为下一层的输入。因此,直接计算损失函数对所有权重和偏置的梚度很复杂,需要使用复合函数的求导公式进行递推计算几个重要的结论在进行推导之前,我们首先来看下面几种复合函数的求导。又如下线性映射函数:其中是维向量,是×的矩阵,是维向量。问题:假设有函数,如果把看成常数,看成的函数,如何根据函数对的梯度值Ⅴ计算函数对的梯度值Ⅴ?根据链式法则,由于只和有关,和其他的≠无关,因此有:c∑(对于的所有元素有:写成矩阵形式为:问题:如果将看成常数,将看成的函数,如何根据V计算Ⅴ?由于任意的和所有的都有关系,根据链式法则有写成矩阵形式为这是一个对称的结果,在计算函数映射时用矩阵乘以向量得到,在求梯度时用矩阵的转置乘以的梯度得到的梯度。问题:如果有向量到向量的映射:
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Geomagic Control X 2017基础教程
3D数据检测软件教学教程，可以帮助使用人员更加快速掌握软件使用基础教程本教程的目的是让你基础的了解在 Geomagic Control X的检查过程.通过程序的教程,你将学会Geomagic Control X的基本使用方法基本的检查过程在本次课程中,你将学到如何导入参考和测试数据并把它们对齐到一起.在检査数据的3D比较和添加比较点之后你将学会如何输出结果报告127GNi. 43503H22.32244614的Pe,料动什dP长359,系1阳A17atinsti检查GD&T在本次课程中,你将学会如何在模型上测量2D和3DGD&T(几何尺寸和公差PMI界面在本次课程中,你将学会如何通过使用PM面向导,导入其他CAD程序已定义PM的参考数据.并检查参考和测试数据之间的偏差.系统检查过程在本次课程中,你将学会如何打开一个含有GD&T测量的 Geomagic Control x项目文件除了现有的测量,你还将检查轮廓偏差,2DGD&T,和2D比较.伞2叫钣金检查过程在本次课程中,你将学会如何检査钣金数据.你将使用RPS对齐方法来对齐数据.多个2D比较命令将用来检查参考和测试数据0≠2aRLES0使用面片数据作为基准数据在本次课程中,你将学会如何使用面片对象作为参考数据,并在检査3DGD&T和面片对象的偏差Gd Dist0:1556D4t:0.141Gaa Dist=0.09b2Gs02590.1237Gap Distt Gap Dist,0:15034第一章.基本的检查过程概要本次练习包括什么?步骤介绍结果导入参考和测试数据使用初始对齐命令对齐数据2使用初始对齐工具对齐参考和测试数据添加3D比较特征3使用3D比较工具分析模型的整体偏差.添加2D比较特征4Ltr使用2D比较工具分析模型的断面偏差.添加比较点理三5分析模型上特定位置的偏差.日但生成报告6将分析结果生成报告■步骤1:导入参考和测试数据在步骤1中,将导入参考数据和测试数据并利用数据创建一个检测项目导入参考数据在模型管理器中选择其中一个结果数据标签把它设置成激活标签.2.在初始选项卡中,导入组下,点击导入或者选择菜单>文件>导入3.从下面的路径浏览这个文件 Reference Data. CXProj然后点击仅导入/Sample/Basic/Basic Inspection Process「导入文件4.一个CAD对象将在模型视图中显示并自动设置成参考数据.二、导入测试数据.在初始选项卡中,导入组下,点击导入或者选择菜单>文件>导入2.从下面的路径浏览这个文件 Measured Data. CXProj然后点击仅导入/Sample/ Basic/Basic Inspection Process「导入文件3.一个面片对象将在模型视图中显示并自动设置成测试数据.步骤2:使用初始对齐命令对齐数据在步骤2中,初始对齐工具将用于对齐测试数据和参考数据初始对齐工具可以智能的把测试数据移动到参考数据合适的位置上初始对齐1.在初始选项卡中对齐组下,点击初始对齐,或者选择菜单>插入>对齐>初始对齐侣亮显命令运行命令注释:此工具也可以从上下文菜单中访问.在模型视图中任意位置点击右键然后在上下文菜单中点击对齐工具.查看"上下文菜单"在 Geomagic Contro/X的帮助说明来获取更多信息d Frit Annotation styleselection modeL: All-FacesShift+AnItt: NSE nverseshiit-2.取消选择利用特征识别提高对齐精度选项.7 Initial Alignment√xEnhance Alignment Accuracy with Feature recognition注释:如果勾选利用特征识别提高对齐精度选项,程序将分析和比较参考和测试数据之间的特征形状然后移动测试数据到两个数据间的最小偏差处3.点击OKM4.检查测试数据是否已经对齐到参考数据上步骤3:添加3D比较特征在步骤3中,3D比较工具将用于计算和显示参考和测试数据之问的整体偏差、添加3D比较1.在初始选项卡中,比较组下,点击3D比较,或者选择菜单>插入>比较>3D比较亮显命令运行命令2.第一步,选择类型选项作为方法并选择贔短选项作为投影方冋.这种方法计算参考数据和测量数据之间的最小距离3 D Compare+√x7 Calculation OptionSampling Ratio% 7MethodO ShapeTHicknessProjection DirectionShortestO Along NormalCustomMax Deviation Auto ob More Options3.点击下一阶段进入下一步.测量数据将自动隐藏因此你可以清楚的看见色图注释:如果需要可以在模型管理器中点击参考数据后面的眼睛图标◎,使测量数据可见Model ManagerInsul bald回 Reference(o Feference DataReferenc是Eata电 Constructed GeometryMeasuredMeasured dataMeasured cata电 Cor structed Geometryv 99 AliyrinmenIlsa Initial AlignmentE Pairing Map3D Compare争3DGD&5f Cross Sectioned Probe Sequence回 Custom vievA Measurement4.检査预览.蓝色的区域表示测量数据在参考数据的下面或者后面,黄色到红色表示测量数据在参考数据的上面5.使用偏差标签下面的选择选项并在体上面选择若干点来査看特定位置的偏差值.每个点位置和偏差的注释将会显示Reference Pos. Measured PosGen vec.Check00008s000217024216829一0,18130113Reference Pos, Measured Pos, Gap vec:Cheel170,00o00000a85,00014.02301428210.24910,916.点击OK√完成命令二、隐藏3D比较在模型管理器中分析下点击3D比较后面的眼睛图标◎,使3D比较的结果在模型视图中不可见.步骤4:添加2D比较特征在步骤4中,2D比较工具将用于计算和显示参考和测试数据之间的断面偏差.你可以在模型上剪切一个平面断面来添加2D比较特征并测量参考和测试数据在断面上的缝隙一、添加2D比较1.在初始选项卡中,比较组下,点击2D比较或者选择菜单>插入>比较>2D比较亮显命令运行命令2.在第一阶段中,你将定义截面平面的位置和计算方法.选择偏移方法并选择一个平面作为基准平面PLane3.点击反转方向来反转切断面的方向4.在偏移距离的输入框中输入3mm来设置所选面的偏移距离.2 D Compare Q→√xv Set section planeO OffsetO RotationO Along CurveBase planeFace 4OffsetDistance[3m⑧D Multiple Cutting Planev Calculation OptionProjection DirectionShortest
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